jueves, 30 de abril de 2009

Trigonometria

Funciones Trigonometricas en el Triángulo Rectángulo

Ahora, estimados amigos definiremos las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Más adelante, nos señaló el profe, las utilizaremos, a través de diversos teoremas y relaciones, en todo tipo de triángulos.

Consideremos el triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura y trabajemos con los ángulos a y b de él.

Antes de seguir adelante con el trabajo trigonométrico, el profe nos hizo recordar y ejercitar el Teorema de Pitágoras, para luego definirnos lo siguiente:

seno de a =

coseno de a =

tangente de a =

cotangente de a =

secante de a =

cosecante de a =

Del mismo modo, para el ángulo b se obtiene las razones trigonométricas siguientes:

seno de b =

coseno de b =

tangente de b =

cotangente de b =

secante de b =

cosecante de b =


Funciónes Trigonométricas de un Angulo Agudo

Conclusiones:

sen a = cos b

cos a = sen b

tg a = cot b

cot a = tg b

sec a = cosec b

cosec a = sec b

y como a + b = 90º (triángulo ABC), entonces b = 90 - a que la reeemplazarlo en las igualdades anteriores se obtiene:

sen a = cos (90 - a)

cos a = sen (90 - a)

tg a = cot (90 - a)

cot a = tg (90 - a)

sec a = cosec (90 - a)

cosec a = sec (90 - a)

En palabras: "La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento".

Ejemplo:

Determinar todas las funciones trigonométricas del ángulo a en el siguiente triángulo; rectángulo en C.


Lo primero fue determinar el valor del cateto BC que, a través del teorema de Pitágoras, resulta de 4 cm. (Tercios pitagoricos)

Ahora que ya sabemos la medida de cada lado del triángulo, resolvamos.

sen a = = 0,8

cos a = = 0,6

tg a = = 1,33...

cot a = = 0,75

sec a = = 1,66...

cosec a = 1,25

Te preguntarás qué significado y utilidad tiene la expresión sen a = = 0,8. ¡Fácil respuesta! (ahora). En una calculadora científica desarrolla lo siguiente: anota el número 0,8 y presiona la tecla INV o SHIFT, luego la tecla sen-1, donde obtendrás como resultado (he aquí lo maravilloso) que el ángulo a mide 53,13º.

Si quieres (sería conveniente), efectúa identica operación con las otras funciones trigonométricas para verificar dicho ángulo.

Ahora te damos un segundo ejercicio para que te entretengas calculando las funciones trigonométricas de b (ángulo ACB) en el rectángulo ABCD de la figura.


Relaciones Trigonométricas Fundamentales


existen relaciones trigonométricas que serán fundamentales en el desarrollo de las diversas unidades de nuestro curso. Para eso vamos a trabajar con la figura siguiente, para que basados en ella demostremos las relaciones que más abajo se indican.

1. 2. 3. 4.
5. sen2a + cos2a = 1 6. sen2a = 1 - cos2a 7. cos2a = 1 - sen2a 8.
9. 10. sec2 a = 1 + tg2a 11. cosec2 a = 1 + cotg2a

¡Apréndelas!, las tendrás que utilizar siempre, especialmente en las identidades y ecuaciones trigonométricas que estudiaremos más adelante.

Y ahora a demostrar cada una de ellas, basándote en el triángulo anteriormente dado. ¡A trabajar!

(Aquí te damos algunas demostraciones como pauta para que tú hagas todas las demás)

1. Por demostrar

queda entonces demostrado.

2. Por demostrar

3. Ahora te mostraremos el desarrollo que nos llevo más tiempo y sólo por no estar atentos a los "pequeños" detalles.

Por demostrar sen2a + cos2a = 1

sen2a + cos2a = 1

Aplicar teorema de pitagoras; a2 + b2 = c2, entonces

1 = 1


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