1.- Lo básico
Ecuación general de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Si el centro esta en el eje x: x2 + y2 + Dx + F = 0
Si el centro esta en el eje y: x2 + y2 + Ey + F = 0
Si el centro esta en el origen: x2 + y2 + F = 0
Ecuación principal de la circunferencia: (x – h)2 + (y – k)2 = r2
Si el centro esta en el eje x: (x – h)2 + y2 = r2
Si el centro esta en el eje y: x2 + (y – k)2 = r2
Si el centro esta en el origen: x2 + y2 = r2
Centro = C = (h, k)
2.- ¿circunferencia, punto o circunferencia imaginaria?
Para determinar si la ecuación de la circunferencia representa a una circunferencia, un punto o a una circunferencia imaginaria se ocupa la siguiente formula:
D2 + E2 – 4F
la cual proviene de la formula:
r = ½ √ D2 + E2 – 4F
la cual nos indica el radio de la circunferencia.
Sea D2 + E2 – 4F = Δ
Si Δ > 0 la formula representa a una circunferencia
Si Δ = 0 la formula representa a un punto
Si Δ <>
3.- Datos y formulas La ecuación de una circunferencia se puede determinar si:
a) Conocemos 3 puntos no colineales
b) Conocemos el centro y el radio
c) Conocemos un punto de la circunferencia y el centro
d) Conocemos los extremos de un diámetro
e) Conocemos el centro y una recta tangente a la circunferencia
a) Conocemos 3 puntos no colineales
EJ: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3). En este caso se deben reemplazar los valores de (x, y) en la ecuación general, para luego resolver un sistema de 3x3.
b) Conocemos el centro y el radio
EJ: Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro (-3, 1) y radio 4. En este caso se ocupa la ecuación principal. En ella se reemplazan los valores de h y k por las coordenadas del centro de la circunferencia y se reemplaza r por el valor del radio.
c) Conocemos un punto de la circunferencia y el centro
EJ: Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro (2, -1) y pasa por A (-1,4) En este caso se ocupa la ecuación principal. En ella se reemplazan los valores de h y k por las coordenadas del centro de la circunferencia y se reemplazan x e y por las coordenadas del punto, así se obtendrá el valor del radio al cuadrado y se podrá encontrar la ecuación de la circunferencia.
d) Conocemos los extremos de un diámetro
EJ: Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que los extremos de un diámetro son A (-2, 6) y B (8, -4) En este caso se ocupa la formula: r = √ (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 2 De esta forma conoceremos el radio de la circunferencia Nota: (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 es prácticamente lo mismo que (x – h)2 + (y – k)2 solo que aquí se ocupan las coordenadas de los extremos del diámetro, se le aplica raíz cuadrada ya que en la ecuación principal el radio esta al cuadrado y se divide en 2 ya que los puntos representan a un diámetro y el radio es la mitad del diámetro. El centro de la circunferencia se saca mediante el punto medio entre ambos extremos del diámetro: PM = (x1 + x2) , (y1 + y2) 2 2 Teniendo estos 2 elementos (radio y centro) podemos encontrar la ecuación de la circunferencia.
e) Conocemos el centro y una recta tangente a la circunferencia
EJ: Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro (-3, -2) y es tangente a la recta de ecuación 3x + 4y +2 = 0
Nota: Que la recta sea tangente a la circunferencia quiere decir que la intercepta solo en un punto, si la intercepta en 2 se le llama secante. En este caso se debe calcular la distancia que hay entre el centro y el punto donde la recta intercepta a la circunferencia, lo cual nos dará el radio de la circunferencia. Para ello ocupamos la formula: r = Ax +By +C √A2 + B2 Donde A, B y C serian respectivamente 3, 4 y 2 (valores de la ecuación de la recta) y x e y son las coordenadas del centro (h, k). Luego de saber el valor del radio de la circunferencia podemos encontrar la ecuación de la circunferencia.
EJERCICIOS
I. Encontrar la ecuación de la circunferencia.
1. Centro (5, 2) y radio 2
2. Centro (-8, 4) y diámetro 10
3. Centro (-1, 4) y pasa por A (7, 1)
4. Centro (5, 2) y pasa por B (-2, 0)
5. Los extremos de un diámetro son A (2, 3) y B (-1, 2)
6. Los extremos de un diámetro son C (4, 8) y D (7, 2)
7. Pasa por los puntos A (-2,5), B (3, 2) y C (1, 1)
8. Centro (-2, 4) y es tangente a la recta 2x + y + 4 = 0
II. Encontrar las coordenadas del centro y el valor del radio.
1. x2 + y2 + 4x + 3 = 0
2. x2 + y2 + 4y – 5 = 0
3. 2x2 + 2y2 + 2x – 6y – 4 = 0
III. Calcula Δ y di que tipo de circunferencia es.
1. x2 + y2 + 4x - 2y + 5 = 0
2. x2 + y2 + 3x + 5 = 0
3. x2 + y2 -8x +10y + 12 = 0
IV. Que valor deba tener k para que la ecuación x2 + y2 + 12x – 4y + k = 0, represente a una circunferencia de radio 5.
PD: Al publicar se han borrado o cambiado algunas cosas asi que mejor bajenla XD
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